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                                                        “CantorAlef”*

“Una estructura es constituyente de la praxis llamada psicoanálisis”.[1]

                                                 Jacques Lacan

  Curiosa es la definición de “estructura” que quedó plasmada en un texto frecuentemente usado como referencia sobre el tema.

  Amparándose en la clase 14 del seminario 3, el mismo establece que: “Estructura clínica implica la noción de estructura, cuya definición según Lacan es: conjunto co-variante de elementos significantes”.[2]  Y acto seguido, comienza a hacer un desglose de las tres nociones involucradas en la presunta definición: 1) Conjunto, 2) Covariancia[3] y 3) Significante.

  Aclarando que las dos primeras son de raigambre matemática mientras que la restante reside en el terreno de la lingüística.

Al realizar un análisis por separado de cada una de ellas, el texto saltea un aspecto fundamental: la falta de armonía inherente a una definición que combina conceptos importados de regiones heterogéneas del saber, y cuya complejidad en cada caso es notable.[4]

  La contundencia con la que está escrita, al estilo de una sentencia incuestionable,  lejos de reflejar la claridad del concepto en juego, sirve para ocultar una serie de problemáticas sobre la que es preciso ahondar. En este texto nos abocaremos al análisis de sólo una de ellas, a saber: ¿qué tipo de estructura es afín a la teoría de conjuntos y por qué sería conveniente (o no) adoptarla en psicoanálisis?

  Demos un rodeo por los fundamentos más básicos de la teoría de conjuntos, desde un enfoque más intuitivo[5] que axiomático-formal, para poder dar respuesta a la cuestión.

La teoría de conjuntos surge a fines del siglo XIX a partir de los desarrollos de Georg Cantor. Este matemático ofreció varias definiciones informales de la noción de conjunto, entre ellas destacamos la siguiente: “Por un conjunto [Menge, en alemán] entenderemos la reunión en un todo de objetos definidos y separados de nuestra intuición o nuestro pensamiento.”[6]

  Vemos en esta cita que la dialéctica entre lo Uno y lo múltiple forma parte consustancial a la idea de conjunto como colección de cosas heterogéneas que constituye un todo. También vemos que cualquier entidad concebible es apta para ser miembro de un conjunto. 

  Un texto más actual dice: “Un conjunto es una colección de objetos, llamados elementos, que tiene la propiedad que dado un objeto cualquiera, se puede decidir si ese objeto es un elemento del conjunto o no.”[7] Aquí se hace más evidente una arista importante,  un conjunto se define por los elementos que pertenecen a él. Y esa pertenencia se puede decidir para cualquier objeto considerado. En este sentido, se puede afirmar que “la teoría de conjuntos es el formalismo de las nociones de elemento y pertenencia”[8]

  Ahora bien, ¿cómo especificamos los elementos que pertenecen a un conjunto? Existen dos modos: por extensión y por comprensión.[9]

a)    Extensión: nombrando de manera explícita todos los elementos que lo integran. Por ejemplo: A = {0, 9, r, 1}, B = {€,ª}, C = {1, 2,{3}, 7}. Este modo, obviamente, es aplicable sólo a casos de conjuntos finitos.

b)    Comprensión: aquí se establece una propiedad común a todos los elementos del conjunto. Por ejemplo: Q = {a/b; a Î Z, b Î N}[10], el conjunto de todos los números racionales, y  = conjunto de todos los números reales. Este modo es indispensable cuando se trata de conjuntos con infinita cantidad de elementos.

  Pasemos ahora a un desarrollo sucinto de conceptos cuyas bases radican en las definiciones precedentes.

  Cardinal de un conjunto: La idea de cardinal de un conjunto refiere a la cantidad de elementos del mismo. Cuando se trate de un conjunto finito el cardinal será un número natural. Para el conjunto vacío Æ el cardinal correspondiente será 0. Uno de los hitos más notables de la teoría fue la extensión de esta noción a conjuntos de infinita cantidad de elementos.

  Georg Cantor se percató de que no sólo tenía sentido hablar de cardinal para un conjunto infinito, ¡sino que diferentes conjuntos infinitos podían tener cardinales distintos! Su idea fue la siguiente: dos conjuntos infinitos poseen el mismo cardinal si se pueden hacer corresponder uno a uno los elementos de ambos.

  Ahora bien, mediante el argumento diagonal demostró que esta correspondencia es imposible cuando se trata de listar el conjunto de los números reales con los números naturales. La conclusión: el cardinal del  conjunto de los números reales es mayor al de los números naturales. Hay distintos infinitos.

  Subconjuntos e igualdad entre conjuntos: Si tenemos dos conjuntos A y B, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B está incluido en A. En cambio, decimos que A y B son iguales si A está incluido en B y B en A, es decir, si ambos conjuntos están compuestos por los mismos elementos.

  Conjunto potencia: Sea un conjunto dado A, el conjunto potencia de A es un conjunto conformado por todos los subconjuntos de A. Ilustremos con un ejemplo sencillo: A= {1, 2, 3}, el conjunto potencia de A es: P(A)= {{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1, 2, 3}, Æ } de todos los subconjuntos considerando al propio A como subconjunto de sí mismo y al conjunto vacío Æ[11]. Nótese que el cardinal de P(A) es igual a 2 elevado a la tercera potencia, o sea, al cardinal de A. Esta relación entre cardinales del conjunto original y de su potencia se cumple siempre.

  Podemos mencionar, además de las anteriores, otras posibles operaciones entre conjuntos: Complemento, Unión e Intersección[12], Diferencia, Diferencia simétrica,  Producto Cartesiano, Relaciones y Funciones, etc. Cada una de ellas merecería un análisis que en aras de la brevedad no haremos. Pero baste decir que todas y cada una dependen de las ideas centrales de “elemento” y “pertenencia”.

  Con lo anterior en mente avancemos sobre el asunto que nos convoca. ¿Cómo establece Lacan su concepción de la estructura? Responder esta pregunta nos obliga a tomar en cuenta el contexto estructuralista en que su obra se desplegó y su toma de posición respecto a éste.

  A grandes rasgos, el propósito principal que impulsó a este movimiento fue el de asociar las ciencias humanas con la rigurosidad del método de las ciencias formales. Su eje directriz: la formulación de una idea novedosa de estructura en la cual no hubiera Centro, ni Origen, ni Destino[13].

  Una estructura en la cual cada elemento valiese en función de su posición relativa respecto de todos los otros. Una estructura sin mismidad asegurada. “Todo era al cabo un aparato en el que la unidad de análisis está en las relaciones y nunca en el atomismo de los elementos”[14].

  Aunque lejos estuvo el estructuralismo de constituir una corriente homogénea. Discrepancias internas comenzaron a surgir en relación a qué herramientas usar para llevar a buen puerto la formalización anunciada, así como también en lo atinente a los alcances del método. Al tiempo los límites se tornaron difusos, ocasionando una creciente proliferación de tesis novedosas y “temerarias”, con gran contenido especulativo y poco anclaje empírico.[15]

  Hasta la naturaleza misma de la noción de estructura fue objeto de debate. ¿De qué hablamos cuando apelamos a ella? ¿A una realidad ontológica que gobierna los fenómenos más diversos? ¿A un modelo teórico amparado en su potencia explicativa?[16]

Lacan sienta posición y aclara: “Como por nuestra parte hacemos del término estructura un empleo que creemos poder autorizar en el de Claude Lévi-Strauss, es para nosotros una razón personal, es ocasión de decirlo, no considerar ese empleo como generalmente confusionista”.[17]

  ¿Cómo piensa la “estructura” el antropólogo y etnólogo francés?

Más allá de las referencias habituales a la teoría del valor del signo en la lingüística de Ferdinand De Saussure, a los métodos de oposición fonemática en la obra de Roman Jakobson y un amplio etc.; veamos qué dice este autor en su célebre “Antropología Estructural”:

"Para merecer el nombre de estructura los modelos deben satisfacer exclusivamente cuatro condiciones.

En primer lugar, una estructura presenta un carácter de sistema. Consiste en elementos tales que una modificación cualquiera en uno de ellos entraña una modificación en todos los demás.

En segundo lugar, todo modelo pertenece a un grupo de transformaciones, cada una de las cuales corresponde a un modelo de la misma familia, de manera que el conjunto de estas transformaciones constituye un grupo de modelos.

En tercer lugar, las propiedades antes indicadas permiten predecir de qué manera reaccionará el modelo, en caso de que uno de sus elementos se modifique.

Finalmente, el modelo debe ser construido de tal manera que su funcionamiento pueda dar cuenta de todos los hechos observados".[18]

  El fragmento nos remite a un episodio no siempre destacado. El trabajo de Claude Lévi-Strauss junto a André Weil, importantísimo matemático del siglo XX y miembro fundador de Bourbaki, es decir, del grupo que representó la corriente estructuralista en matemáticas.

  Este matemático realizó un análisis algebraico del comportamiento del sistema de parentesco de la tribu Murngin en Australia (de la cual Lévi-Strauss se ocupa en buena parte de su “Estructuras elementales del parentesco”), llegando a la sorprendente conclusión que sus modos de intercambio respondían a lo que en álgebra abstracta se denomina “grupo”.

  Un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto de elementos con una operación binaria que satisfacen ciertas propiedades. Su estudio representa un mayor nivel de abstracción porque se puede establecer de modo general, con independencia de los grupos concretos sujetos a consideración. Es decir, conjuntos de elementos de lo más disímiles entre sí pueden, sin embargo, poseer una misma estructura de grupo.

  Ahora sí, con todos estos preámbulos presentes, retomemos el tema principal.

¿No es paradójico y hasta contradictorio que Lacan asocié las nociones de estructura y la de conjunto? Como hemos visto, todas las elaboraciones más básicas que involucran a esta última se amparan en la idea de elemento y pertenencia. Y nada más. No hay, estrictamente hablando, ninguna estructura interna requerida, ninguna forma de correlación o leyes que los elementos de un conjunto deban seguir para satisfacer la definición de “conjunto”. Es cierto que se pueden definir operaciones entre conjuntos que impliquen relación entre ellos, pero esas operaciones siempre se reducen a una “asignación” entre sus elementos.

  Por otra parte, cada elemento constituye un dato positivo. O sea, se puede establecer y especificar en sí mismo como miembro de determinado conjunto. Esto choca de lleno con la idea de estructura como sistema en donde cualquier modificación de un elemento modifica a todos los otros puesto que ellos carecen de mismidad por fuera de sus relaciones.

  Si bien en conceptos como el de Cardinal hacemos caso omiso de la naturaleza de los elementos y sólo nos centramos en cuántos son, es esencial la capacidad de poder distinguir cada uno de ellos.

Y entonces, ¿por qué?

El mismo Lacan plantea:

“la categoría de conjunto, para introducirla, encuentra nuestro acuerdo, por cuanto evita las implicaciones de la totalidad o las depura. (…) Los elementos se definen allí efectivamente por la posibilidad de ser planteados en función de subconjuntos como recubriendo una relación cualquiera definida para el conjunto, posibilidad que tiene por rasgo esencial el no estar limitada por ninguna jerarquía natural.”[19]

  Enumeremos.

  Primer motivo: la evitación o depuración de las implicaciones de la totalidad. Este es un asunto recurrente en su enseñanza. Las dos nociones de batería y tesoro del significante articulan cuestiones referentes a la totalidad. Una batería por definición es completa aunque esté compuesta por una cantidad finita de objetos, mientras que un tesoro por más valioso que fuese no puede contenerlo todo, puesto que si lo hiciera perdería automáticamente su valor. El todo y el no-todo en primer plano.

  En este sentido, las diferentes axiomatizaciones de la teoría de conjuntos lidian con las paradojas surgidas durante su desarrollo histórico cuando entraron a considerarse conjuntos que contuviesen algunos tipos de totalidad. Utilizar esta última teoría como sustento conceptual de la estructura permite, según Lacan, considerar una totalidad “depurada”.

  Segundo motivo: las relaciones internas de los subconjuntos de un conjunto dado no están limitadas por ninguna jerarquía natural. La ausencia de apelación a un referente externo, a una realidad trascendente que ordenaría las relaciones internas desde un afuera natural e inapelable es uno de los puntos fuertes de la teoría. No es necesaria ninguna instancia tercera para fundamentar las operaciones internas de un conjunto.

  Esto es importante en la obra de Lacan, dado el naturalismo en que habían decantado ciertas interpretaciones de la obra freudiana, interpretaciones que buscaban el fundamento de las tesis psicoanalíticas en otras disciplinas (en este caso las ciencias naturales) que le den un marco más general y, quizás, más asegurado en lo empírico.

  Agregamos un tercer motivo: la enorme plasticidad que tiene la definición de conjunto para admitir cualquier tipo de elemento.  La teoría impone pocas restricciones y permite que entidades ficcionales, discursivas, cuenten como potenciales elementos de un conjunto. De nuevo, no requiere de ninguna justificación externa a su propia definición. Reúne entidades que pueden ser heterogéneas, una multiplicidad, en un todo que cuenta como uno.

  A pesar de los tres motivos enumerados, prevalece la crítica. En principio porque los conjuntos no son la única entidad matemática capaz de proveer esos beneficios. Ya mencionamos, y es tan sólo un ejemplo, la noción de Grupo; que cumple con todos los requisitos y además agrega algo insoslayable: ahí sí podemos hablar de estructura, ya que los elementos de un grupo respetan condiciones estrictas.

  Por otro lado, ¿cómo articular la noción de significante con la de elemento? Si el significante sólo vale en articulación con otros, ¿cómo puede contar como elemento en un conjunto? Esa posibilidad se desvanece, salvo que, y esto sucede con frecuencia, homologuemos un significante con un dato positivo. Trivializamos  una noción despojándola de su novedad.

  El recurso a la covariancia que figura en la definición con la que comenzamos es dudoso. Los conjuntos no exigen esa condición y, si lo hicieran, habría que especificar de qué modo sus elementos co-varían y qué estructura es la resultante. Es un modo deficitario de intentar saldar las contradicciones internas entre una estructura que pone el acento en las relaciones con los conjuntos que hacen lo propio con los elementos.

  Por último, un conjunto remite a una unidad compuesta de un interior. Es solidario de la idea de que, para conocer algo, hay que mirar qué lo constituye. ¿Cuándo pensamos en el diagnóstico estructural, no solemos pensar en la estructura como algo que tiene el individuo que nos consulta? ¿No es esto la expresión de una ontología sustancialista tradicional?  Se borran así muchos de los desarrollos más subversivos de Lacan, en particular, la inmixión de Otredad.[20]

  En suma: concordamos en sostener que una estructura es constitutiva de la praxis analítica, pero el modo de conceptualizarla tiene que ser otro. El propio Lacan no quedó ahí, sus menciones esporádicas a la idea de grupo y su uso del Grupo de Klein[21] dan cuenta de ello. Además de los esquemas y grafos, la topología y la teoría de nudos de las que se valió en toda su obra.

  En próximas entregas realizaremos un análisis crítico de estos usos, dando nuestra perspectiva sobre el álgido tema de las formalizaciones matematizadas en psicoanálisis. El objetivo es el siguiente: reformular las definiciones psicoanalíticas relativas a la idea de estructura (puntualmente la de significante) bajo el lenguaje que proporciona una teoría matemática que cobra cada vez más protagonismo en múltiples ámbitos y de la cual Lacan, hasta donde sabemos, nunca se anotició: la teoría de categorías.

Imagen*: Georg Cantor / Wikipedia* - El Aleph / Wikipedia