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Cantor, la libertad
14/11/2000- Por
Gabriel Lombardi -
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Es una interesante paradoja, que los tres hombres que más profundamente
contribuyeron a la actual transformación del mundo, f
Cantor, la libertadGabriel
LombardiGeorg
Cantor nació en San Petersburgo en 1845, produjo en Alemania algunos teoremas
decisivos de la historia de la matemática, introdujo la teoría de los conjuntos
y números transfinitos, desató con ello la crisis más profunda y fructífera en
esa disciplina científica, desarrolló también algunas elaboraciones filosóficas
y teológicas en defensa de sus teorías. A partir de 1884 sufrió varias internaciones
psiquiátricas, en sus delirios intentó demostrar que Francis Bacon fue autor de
obras de Shakespeare, en su locura exhibió una desinhibición pulsional sorprendente,
murió en Halle en 1918. Esta apretada biografía bastaría para ilustrar la alternancia,
no infrecuente en la vida de un hombre de genio, de la ciencia y la locura.Parece
natural que un psicoanalista se interese sobre todo en esta última, y que ponga
el acento en Cantor el caso clínico. Curiosamente no fue eso lo que retuvo la
atención de Lacan, quien lo cita frecuentemente en sus Seminarios, pero no para
hablar de su enfermedad ni de sus avatares biográficos, sino de lo que Cantor
introdujo en el discurso de la matemática. Más que en sus síntomas, se interesó
en sus actos, y en las consecuencias de sus actos. Y en particular en el acto
humano por excelencia, el acto de decir, la enunciación como acto. En su texto
L'étourdit, Lacan rindió homenaje al "decir de Cantor", expresión
que figura tres veces en ese texto [1]
. Vehemente y sólo sostenible desde una posición subjetiva extrema, el decir
de Cantor inaugura la ciencia del siglo XX, haciendo posible que otros matemáticos
avanzaran hasta la invención de la matriz lógica de la computadora.No
es función de la ciencia recordar al sujeto que soportó una invención, ni las
condiciones de enunciación que incluyen su vida y sus lazos con los matemáticos
de la época. El psicoanálisis en cambio se interesa en esas condiciones, para
devolver al acto sus consecuencias, enormes sobre las matemáticas y sobre la civilización.
Y también sobre el sujeto: como veremos, el decir tuvo en Cantor la particularidad
de exigirle llegar hasta los límites últimos de la alienación en el sentido lacaniano
del término, sin que eso facilitara en nada para él la segunda fase de la constitución
del sujeto: la separación.Inspirado
en Jacques Lacan y en Colette Soler, el título de este texto ubica - en aposición
al nombre - el rasgo que tuvieron en común las vidas, tan distintas, de Georg
Cantor [2] . Más que la convicción y la energía que desplegó en cada una
de ellas, es la libertad lo que da el rasgo común a su decir como matemático,
a la fundamentación filosófica personal de sus teorías, a sus delirios y a su
locura.Cantor
fue matemático y fue loco, pero no al mismo tiempo. Sin pretender reducir en nada
el abismo que separa esas fases dispares e irreductibles una a otra, este texto
se propone interrogar cómo se juega en ellas esa facultad paradójica, la libertad,
que Cantor sostuvo hasta la muerte como su bien más preciado. Para comenzar, recordemos
a grandes rasgos el modo en que Cantor libera a la matemática de sus ataduras
tradicionales.Breve
historia del infinitoEn
su Física [3] , Aristóteles explica que
la noción de infinito es contradictoria en sí misma: "No es como se dice, algo
fuera de lo cual no hay nada, sino algo fuera de lo cual siempre hay algo". Advirtió
así que el infinito no admite ningún "todo". Lo juzgó entonces una noción absurda,
que no debe ser admitida por el científico más que en un sentido restringido:
sólo hay infinitos en potencia, que existen por composición en las magnitudes
muy grandes o por división en las muy pequeñas, pero es absurdo pensar que pueda
existir en acto un "cuerpo" {soma} sensible infinito. Consideró
que ni siquiera los matemáticos tienen necesidad de admitir la existencia de cuerpos
infinitos, pues su disciplina solamente requiere magnitudes tan grandes como se
quiera, pero limitadas.Durante
más de 2000 años, los matemáticos se atuvieron, en cuanto al infinito, a la conducta
recomendada por Aristóteles. Sin embargo, ya en 1638 Galileo había señalado que
algo muy curioso ocurre con los conjuntos infinitos de números [4] . Notó que si escribimos la lista de los naturales:
1, 2, 3, 4, 5..., podemos suponer que tal lista que no tiene un último
término, no tiene fin, decimos que es al menos potencialmente infinita. Si debajo
de esa lista hacemos otra, de modo que el cuadrado de cada uno de los términos
de la primera quede justo debajo de él, tendremos: 1, 4, 9, 16, 25... Es
muy fácil ver que estamos haciendo una correspondencia uno a uno de cada miembro
de la primera lista con cada miembro de la segunda. Esto permitió a Galileo deducir
que debe existir la misma cantidad de números en ambas listas, porque existe una
correspondencia uno a uno entre sus miembros, es decir que cada miembro de una
lista puede ser unido por una flecha doble " con cada miembro de la otra. Inmediatamente aparece la siguiente paradoja:
por un lado ambas listas tienen la misma cantidad de números, y por otro no, ya
que cada número que aparece en la lista de los cuadrados - que son también números
naturales - tiene que figurar en la primera lista, la de todos los naturales,
pero además la primera lista contiene otros números como el 3 o el 5
que no son cuadrados, y por lo tanto la primera lista tiene más números que
la segunda. La primera tiene la misma cantidad de números que la segunda lista,
y al mismo tiempo tiene una cantidad mayor. He allí la paradoja. Galileo pone
en boca de Salviati esta conclusión:"No
veo que otra cosa haya que decir si no es que infinitos son todos los números,
infinitos los cuadrados, infinitas sus raíces; y la multitud de los cuadrados
no es menor que la de todos lo números, ni ésta mayor que aquélla; y finalmente,
los atributos de mayor, menor e igual no se aplican a los infinitos, sino sólo
a las cantidades terminadas [esto es, finitas]".Galileo
se atuvo sin embargo a la imperativa prudencia de Aristóteles. El hombre que inició
la matematización de la física, el paso que permitió transformar el mundo cerrado
del medioevo en el universo infinito de la época moderna, no puso en cuestión
los límites establecidos para la matemática misma. El infinito en juego, tanto
para él como para Newton, es ese infinito potencial al que Aquiles y la tortuga
aspiran desde hace muchos siglos, pero al que nunca llegarán "en su doble y desesperada
persecución de la inmovilidad y del éxtasis", según dijo bellamente Borges. Temieron
que el infinito tomado en acto, integrado al pensamiento, estalle y lo mate.Doscientos
cincuenta años después que Galileo, Georg Cantor volvió sobre las listas infinitas
de números. En lugar de descartarlas como absurdas, las hizo ingresar en el discurso
de la matemática. Argumentó que las cantidades infinitas no necesariamente deberían
responder a las mismas leyes que las finitas, y que sus leyes específicas podían
ser establecidas. Dauben observa que la propiedad que Galileo había considerado
paradójica era, en verdad, una propiedad natural de los conjuntos infinitos.Ahora
bien, para dar ese otro paso, la matematización del infinito, era el lenguaje
mismo lo que debía explorarse. Había que enfrentar los problemas que surgen con
la cuantificación universal cuando es aplicada a ciertas expresiones que también
están en el lenguaje, pero que exceden la lógica del "para todo". Si pretendía
tratar la contradicción interna del infinito, la matemática no podía (y como veremos,
no debía) apelar esta vez a la física, ya que era completamente inoperante concebir
un cuerpo infinito en acto: Aristóteles había demostrado que tal cuerpo es imposible,
porque debería estar en algún lugar, que sería su límite, y por lo tanto no sería
ya infinito.Había
que inventar entonces una nueva lógica, con un lenguaje limitado, manejable, pero
suficientemente potente como para expresar a los conjuntos infinitos. Tal es la
función de la Teoría de los conjuntos que introduce Cantor, que con las combinaciones
de algunos pocos signos es capaz de alojar en el lenguaje conjuntos más grandes
aún que "todo".El
hotel de HilbertRecapitulando
la obra de Cantor, es fácil encontrar una decena de ideas mayores. De ellas se
ha escrito que son "tan brillantes y originales, tan simples, elegantes y poderosas,
que cualquiera de ellas hubiera sido suficiente para coronar la carrera de un
gran matemático [5] ." Algunas son:-
que las cantidades infinitas no son absurdas o imposibles, sino números que requieren
un álgebra nueva para entregar sus secretos;-
que la propiedad de tener partes que son igual que el todo es la propiedad determinante
de los números infinitos (Borges lo dijo así: la parte, en esas elevadas latitudes
de la numeración, no es menos copiosa que el todo).-
se dice que dos conjuntos de objetos tienen el mismo número de elementos si sus
elementos pueden ser puestos en una correspondencia uno-a-uno;-
que los números racionales son enumerables (contables), ya que de un modo sencillo
se pueden poner en una relación uno-a-uno con los enteros positivos, a pesar de
que parecen ser muchos más;-
que los números reales (racionales más irracionales) no son enumerables.La
lista de ideas de Cantor no se detuvo allí. Con igual desenvoltura demostró que
los elementos de un conjunto son menos que los subconjuntos de dicho conjunto.
De lo cual rápidamente dedujo la siguiente consecuencia: el conjunto de subconjuntos
es un principio generador, para cualquier conjunto dado, de conjuntos mayores.
(¡Incluso si se tratara del conjunto de todos los conjuntos!)La
ganancia que trajo la ampliación del campo de la matemática a los conjuntos infinitamente
grandes, puede ser ilustrada con las libertades que podría tomarse el propietario
de un hotel tal como lo concibió David Hilbert, matemático eminente, uno de los
primeros en Alemania en aprovechar la teoría de los conjuntos:Imaginemos
un hotel con un número finito de habitaciones, y supongamos que todas las habitaciones
están ocupadas. Llega un nuevo huésped y pide una habitación. "Lo siento, dice
el propietario, pero todas las habitaciones están ocupadas". Imaginemos ahora
un hotel con un número infinito de habitaciones, todas ellas ocupadas. También
a este hotel llega un nuevo huésped y pide una habitación. "¡Por supuesto!", exclama
el dueño, y traslada a la persona que previamente ocupaba la habitación 1 a la
habitación 2, la de la habitación 2 a la 3, la persona de la habitación 3 a la
4, y así sucesivamente... Y el nuevo cliente recibe la habitación 1, que ha quedado
libre como resultado de estas mudanzas. Imaginemos ahora un hotel con un número
infinito de habitaciones, todas ocupadas, y un número infinito de nuevos huéspedes
que llegan y piden habitación. "¡Seguro, señores -dice el dueño-, esperen sólo
un minuto!". Traslada entonces el ocupante de la habitación 1 a la 2, el ocupante
de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6, y así sucesivamente. Ahora, todas las habitaciones
con números impares han quedado libres, y los infinitos nuevos huéspedes pueden
fácilmente ser alojadas en ellas [6]
.Ese hotel
sólo podría construirse en el "paraíso creado por Cantor" - así habló Hilbert
- donde el conjunto infinito de los enteros positivos tiene la misma cantidad
de elementos (y no la mitad) que el de los pares. Esas matemáticas, evidentemente
liberadas de las ataduras de la física, rápidamente estarían en condiciones de
encontrarse con nuevas formas de lo imposible. Esas libertades, y también esas
imposibilidades nuevas, estarán en el germen de lo que ahora permiten (y excluyen)
las redes numéricas de multiplicación y codificación, en principio ilimitadas,
que hacen posible la existencia de Internet y de la nueva civilización "globalizada".Las
teorías de Cantor, aun si se basaban en el razonamiento matemático, iban en contra
de las bases intuitivas proporcionadas por la física o la geometría; por eso mismo
estaban destinadas a encontrar una oposición activa entre los matemáticos de su
época. Algunos de ellos reaccionaron con encono, como Kronecker su antiguo maestro,
de quien Cantor hizo un enemigo, casi un perseguidor, al que dedicaba buena parte
de sus desvelos y de sus nuevos descubrimientos. Sin embargo Kronecker sólo le
devolvía en los años '80, un poco enfáticamente es verdad, la crítica que antes
el propio Cantor hiciera a otros matemáticos como Du Bois-Reymond: que construían
números de papel, entidades inexistentes. Los verdaderos números, sostenía Kronecker,
son los que pueden construirse a partir de los números "naturales" 0, 1,
2, 3 ... Los obstáculos, la oposición de lo real a la libertad que
proponía, no estaban para Cantor adonde el representante de la tradición los indicaba.
Y seguramente no podía saber exactamente adónde se encontraría la imposibilidad
nueva que surgiría de su teoría precisamente formulada, es decir axiomatizada
por Zermelo, Von Neumann y Gödel entre otros [7] .Asentar
el discurso de la matemática en una teoría que lo liberara de las limitaciones
impuestas por otros discursos, no pudo hacerse sin un costo subjetivo. Y de hecho
fue solo después de su primer momento de psicosis clínica e internación en 1884,
que Cantor se atrevió a dar algunos pasos decisivos en el camino de esa rápida
liberación de los "fantasmas" de la física y de la geometría. No fue sin su síntoma
que pudo ir más allá del paradigma geométrico que durante años retuvo sus concepciones
del número sujetas a la topología de la recta.Así,
es recién en 1891 que la existencia de los conjuntos infinitos no enumerables
es demostrada siguiendo el ahora famoso método diagonal, que ya no reposa sobre
la idea del continuo en la recta infinita, sino en la escritura decimal de los
números reales, es decir, en una pura sintaxis que prescinde de toda referencia
exterior a sus propias reglas, y que sin embargo no acarreará al hombre una confrontación
menor con lo imposible. ¡Al contrario! Como veremos, Cantor es el padre de Gödel.
Paradojas de la libertad de un ser atado al símbolo.En
el mismo sentido podrían mencionarse las denominaciones de los números transfinitos
cardinales y ordinales, y la admisión de conjuntos inconsistentes.El
decir de Cantor, según Lacan y GödelA
diferencia de otros psicoanalistas, Lacan no puso el acento en la psicosis de
Cantor, decíamos; y menos aún en los "fantasmas" que le habrían impedido ver lo
que todavía no había sido descubierto [8] . En esto era sensato: es muy fácil señalar
hoy lo que Cantor no vio cuando todavía nadie lo había visto, para afirmar luego
que eso probaría no sé qué fijación fantasmática. ¿O acaso deberíamos suponer
ya escrito en nuestro inconsciente el saber que la ciencia encontrará en los próximos
100 años? Como suposición, lo menos que puede decirse es que es innecesaria, y
Lacan la critica explícitamente en su texto La méprise du sujet supposé savoir [9] . Mucho más interesante resulta estudiar
las consecuencias de lo que la enunciación de Cantor abrió en el discurso de la
matemática, aún si esas consecuencias no podían ser completamente advertidas por
el propio Cantor (y eso por la estructura misma de todo acto [10] ). Es en esta dirección que
Lacan menciona "el decir de Cantor". Leemos en L'étourdit:Lo
que se profiere en el decir de Cantor, es que la serie de los números no representa
ninguna otra cosa en el transfinito que la inaccesibilidad que comienza en dos
{deux}, por lo cual de ellos {d'eux} se constituye lo enumerable
al infinito [11] .Esta
afirmación se basa en un texto de Gödel de 1947, titulado ¿Qué es el problema
del continuo de Cantor? Allí Gödel desarrolla la pregunta: ¿cuál es el número
de puntos de una línea recta? Para Cantor existen al menos dos clases de conjuntos
infinitos, los enumerables y los no enumerables. Tras haber probado que el número
de puntos de la recta es mayor que el de los conjuntos finitos enumerables, y
que hay diferentes conjuntos no enumerables, Cantor hace la siguiente hipótesis:
la cantidad de puntos del continuo de una recta tiene una cota superior, dada
por el menor conjunto infinito no enumerable. Esa es su conjetura del continuo,
que nunca pudo ser probada ni refutada hasta 1966, año en que Paul Cohen mostró
que tanto esa conjetura como su negación son compatibles con las formas axiomatizadas
de la teoría de los conjuntos. Es decir que la hipótesis del continuo de Cantor
puede ser añadida como axioma independiente al armazón de la teoría de los conjuntos
transfinitos.De
paso, en ese artículo Gödel da una definición rigurosa de lo que significa que
el número de elementos de un conjunto sea inaccesible desde un punto de vista
cantoriano. "Es inaccesible" quiere decir: tal número no puede ser construido
por suma o producto de conjuntos con menor número de elementos. Gödel encuentra
que no sólo los números transfinitos enumerables o no enumerables son inaccesibles,
sino que hay ya un conjunto finito que es inaccesible: ¡el 2! El 2 es inaccesible
desde un conjunto con un elemento, porque para llegar a él se necesitaría de la
suma de 2 elementos, ¡es decir que sólo teniéndolo de antemano puede ser construido!Kronecker
tenía entonces razón, los transfinitos son inaccesibles y contrarios a la intuición
natural, sólo que la razón que Kronecker tenía iba a caducar, como efecto del
decir de Cantor. Pero además, la nueva razón mostraría que el número 2 no es tan
natural como parece. Lo cual es un saber útil para el psicoanalista, que puede
entender ahora un poco mejor la dificultad que encuentra la gente para contar
hasta dos - especialmente en la cama, ese riguroso lugar, donde se necesita teorizar
al tercero para situarse en "relación" con el segundo -. Esa dificultad se funda
en una propiedad de la estructura del lenguaje, imposible de reconocer hasta que
Lacan añade al inconsciente freudiano las consecuencias del decir de Cantor -
entre las cuales deben contarse los enunciados de Gödel -.¿Y
cómo es que, siendo tales números inaccesibles, el lenguaje nos permite plantear
su existencia? Ayudado por el saber de lalengua francesa, en el párrafo
citado Lacan ensaya una respuesta (sobre la que vuelve dos y muchas veces): es
porque el uno del lenguaje es equívoco que de ellos (d'eux) puede hacerse
dos (deux). También intentará esta otra, apoyándose en la reelaboración
cantoriana que hace Frege de la teoría de los números: dado que el nombre del
primer elemento es equívoco (¿el conjunto vacío es un cero o es un uno?), se puede
establecer que cero y uno hacen dos. "A partir de lo cual Cantor pone en cuestión
toda la serie de los números enteros y remite lo enumerable al primer transfinito,
el primer Uno distinto {Un autre} que retoma lo que zanja del primero:
que de hecho lo corta en dos [12] ."Es
gracias a la ambigüedad del uno del lenguaje que se puede contar, y que se puede
existir, incluso ex-sistir como sujeto de la enunciación cuya representación el
uno equívoco puede tomar sobre sí. La teoría de los conjuntos hace entrar ese
Uno equívoco del lenguaje en el discurso de la matemática, mediante el
artilugio del conjunto vacío a partir de lo cual todo puede construirse, y más
también. Allí ubicará Lacan su definición del sujeto: es lo que un significante,
en su ambigüedad, representa para otro significante).El
decir de Cantor introduce en la ciencia nada menos que el efecto de sujeto del
lenguaje, efecto divisorio, en el dominio en que menos se lo esperaba: el del
número. Eso será rápidamente detectado por los matemáticos bajo la forma de las
paradojas de la teoría de los conjuntos, que llevarán a una revisión radical de
los fundamentos lógicos del discurso de la matemática (supuestos hasta ese momento
un dominio de certeza y de saber asegurados). La teoría de los conjuntos no es
estéril, diría uno de sus críticos más agudos, porque ella engendra la paradoja.
Pero no sólo engendraría paradojas. Esa teoría, que permite alojar números inaccesibles
sólo acotados por el rigor de una sintaxis, esa teoría de matemática pura que
nace sin aplicaciones físicas ni geométricas, resulta que hoy se aplica, que ha
revolucionado el discurso de la matemática al punto de conminarlo a encontrar
el lenguaje de máquina de las computadoras, el lenguaje depurado de efectos de
sujeto. La informática y la nueva tecnología del software derivan de allí.Además,
la matemática puras de Georg Cantor no sólo se aplican hoy en el discurso de la
ciencia o de la tecnología. Con Lacan, también encuentran aplicación en el discurso
psicoanalítico. Entre las indicaciones que éste da al respecto, hay una en el
corazón de su Proposición del 9 de octubre sobre el psicoanalista de la Escuela.
"Es útil pensar en la aventura de un Cantor, aventura que no fue precisamente
gratuita, para sugerir el orden transfinito en que el deseo del psicoanalista
se sitúa." Como en la teoría cantoriana de los números, en un análisis se trata
de producir una coincidencia del decir con un no-saber, un aleph que enmarque
la rigurosa cadena de los dichos; lo cual supone dar un salto afuera de la cadena,
un salto que ubica al sujeto en una perspectiva nueva, desde donde la articulación
de significantes se zanja como "solamente saber."Antifilosofía
matemática, o la libertad de prescindir de toda metafísicaDespués
de años de trabajo concentrado en el discurso de la matemática, en 1883 Cantor
comienza a publicar consideraciones filosóficas sobre lo que implica su manera
de entender la realidad de las nociones que introduce. En ese año publica su texto
Fundamentos de una teoría general de los conjuntos, donde discute la realidad
de los números finitos e infinitos. A ellos puede adjudicarse una realidad trans-subjetiva
o trascendente, de la que puede ocuparse la metafísica. O bien una realidad intrasubjetiva
o inmanente, que es la única que verdaderamente interesa a la matemática en tanto
tal, es decir en tanto "matemática libre". El texto continúa así:La
matemática es plenamente libre en su desarrollo, y no conoce sino una única obligación:
sus conceptos deben ser no contradictorios en sí mismos y sostener por otra parte
con los conceptos formados anteriormente, ya presentes y asegurados, relaciones
fijas, reguladas por las definiciones. En particular, para poder introducir nuevos
números, solamente se requiere dar definiciones que les confieran precisión y,
llegado el caso, una relación con los antiguos números tal que se pueda distinguir
a unos de otros de un modo determinado. Desde que un número satisface todas estas
condiciones, puede y debe ser considerado como existente y real en la matemática.No
es necesario, yo creo, temer de estos principios ningún peligro para la ciencia.
Por una parte las condiciones que digo - sin la observación de las cuales la libertad
de formar números no puede ser puesta en ejercicio - son tales que sólo dejan
a lo arbitrario un lugar extremadamente reducido; luego todo concepto matemático
lleva en sí mismo su correctivo necesario: si es estéril o inadecuado, se manifiesta
muy rápido por su poco uso, y es entonces abandonado por falta de eficacia. Por
el contrario, toda restricción superflua impuesta al apetito de investigación
matemática me parece implicar un peligro más grave, tanto más grave cuanto que
no se puede extraer de la esencia de la ciencia nada que la justifique [13] .A
partir de allí afirma: la esencia de la matemática reside precisamente en su
libertad. No es de todos modos una libertad loca e irrestricta, porque, como
leímos, sus principios "sólo dejan a lo arbitrario un lugar extremadamente reducido".
Lo notable es que finalmente estos principios que Cantor llevó hasta sus últimas
consecuencias son los que tomará la ciencia a partir de él - sin decirlo -. Otro
científico fascinado por la desconexión entre los símbolos matemáticos y la "realidad",
Alan Turing, avanzará en 1936 hasta la invención del software con la misma idea:
Science is doubting axioms
[14] .Cantor
introduce así el deseo de una matemática intrínsecamente rigurosa, que pueda prescindir
de los lazos tradicionales con todas sus aplicaciones posibles. Por oposición
a la matemática aplicada, sometida al control "metafísico" de la física y otras
disciplinas que en nada pueden ya contribuir a su rigor, la matemática libre que
él preconiza y ejercita tiene derecho a encontrar en sí misma su consistencia
y su justificación, y a dejar que las significaciones trascendentes surjan, eventualmente,
a posteriori.Para
dar el paso de la matematización del infinito, era necesaria esa posición, que
implicaba tomar al lenguaje mismo, y no a ninguna otra realidad trascendente,
como la materia a explorar; por ejemplo para determinar qué problemas surgen con
el "todo" de la cuantificación universal cuando él se aplica a ciertas expresiones
que también están en el lenguaje, las de lo infinito. En efecto, para tratar esa
contradicción interna del infinito, la matemática no podía, no debía, apelar esta
vez a la física, ya que era completamente inoperante concebir un cuerpo infinito
en acto - Aristóteles había demostrado que tal cuerpo es imposible, porque
debería estar en algún lugar, que sería su límite, y por lo tanto dicho cuerpo
no sería ya infinito -.La
posición subjetiva extrema de Cantor supone el reconocimiento lúcido de la matemática
como "sólo saber"; lo cual hace que la única coerción que acepte para esa disciplina
es la que le impone la exigencia lógica de no contradicción. Es la única condición
a que debe atenerse un elemento para ser admitido como existente. Lo que no implicaba
dejar de lado lo real, sino por el contrario, afrontar lo que un discurso así
generado conlleva: una confrontación con la imposibilidad lógica. La retracción
de la matemática a la lógica matemática, es decir a lo que Lacan calificaría de
"ciencia de lo real [15] ", es el camino que Cantor
abrió con su ejercicio matemático de la libertad.La
física y sus demás aplicaciones, para el discurso de la matemática, son fantasma.
Había que abandonarlo para laicizar el infinito que el lenguaje aporta al ser
hablante. Respecto de algunas ideas llamadas teológicas
de Cantor, debemos decir que no son tan teológicas como pueden parecer desde una
lectura ingenua. Sus consideraciones acerca de Dios anticipan la concepción de
Dios como efecto real del lenguaje, efecto del que Lacan desprendió toda suposición,
para aislar en él al Uno que hay. En 1908, es decir después de varias internaciones
psiquiátricas, en respuesta a la crítica de Poincaré que le imputaba el sostén
de un Género supremo, Cantor afirma sencillamente:Jamás
he derivado ningún "Género supremo" del infinito actual. Por el contrario, he
demostrado rigurosamente que no hay en absoluto "Género supremo" del infinito
actual. Lo que sobrepasa todo lo finito y transfinito no es ningún "Género"; es
la simple unidad en la cual todo está incluido, que incluye incluso el "Absoluto"
incomprensible para el entendimiento humano. Es el "Actus purissimus" que por
muchos es llamado "Dios". [16] Dios,
entonces, es una forma de hablar de algunos hombres. ¿De hablar de qué?, de la
simple unidad, del Uno que hay, para decirlo en los términos de Ou pire...,
y que es acto creador porque siendo el simple elemento del lenguaje, logra hacer
entrar en lo real a su criatura: el sujeto que es su efecto. Cantor no era psicoanalista
lacaniano para formularlo en estos términos, no obstante llega a plantear que
la realidad de lo que su discurso introduce es sólo inmanente o subjetiva.Locura
y libertadNo
siempre Georg Cantor se atuvo al discurso de la matemática en el ejercicio de
la libertad. La ejerció también en la locura. A propósito suyo, con toda discreción,
Lacan habló del drama del sabio en las crisis de la ciencia. "Tiene sus víctimas
de las que nada dice que su destino se inscriba en el mito del Edipo [17] ." En 1884, por un breve período,
Cantor fue internado por primera vez, en el mismo Hospital Universitario de Leipzig
que unos meses después alojaría a Schreber [18] . A partir de entonces parece dedicar más tiempo a las preocupaciones
teológicas y filosóficas que a las propiamente matemáticas, a las que sin embargo
retorna, produciendo aún resultados muy importantes.Hoy
es común que el hombre de ciencia que ha encontrado algo, ante lo subjetivamente
insoportable de sus logros, se dedique a sostener y divulgar ideas que poco tienen
que ver con la disciplina en que hizo avanzar a la ciencia. Acaso sea una forma
de tratar la destitución subjetiva que exige la ciencia a quien le entrega su
hallazgo y su nombre. La comunidad científica respeta el estilo y las costumbres
del investigador, admite que pasee por los pasillos y por el mundo con su osito
de peluche gastado y sucio, y también que defienda sus pequeños delirios no muy
científicos en su espacio transicional anglosajón, tolera incluso que redacte
a partir de ellos algún opúsculo sobre la inteligencia artificial y la conciencia
de las máquinas, y hasta que lo publique.Cantor,
sin embargo, se tomó algunas libertades menos propensas a una inscripción social
que un libro de divulgación. Durante muchos años defendió, y de un modo francamente
delirante, la autoría por parte de Francis Bacon de las obras de Shakespeare
[19] . A diferencia de la brillantez y exhuberancia de ideas que mostró en
el discurso de la matemática, allí los argumentos que acompañaron a su habitual
rigor fueron escasos y más bien pobres.Muy
poco se sabe de las circunstancias que llevaron a su primera internación. Es verosímil,
aunque difícil de comprobar, la tesis de Charraud según la cual el desencadenamiento
no fue por la falta de reconocimiento o la oposición de la comunidad alemana de
matemáticos, sino al contrario como consecuencia de un viaje a Paris donde fue
recibido como un maestro por matemáticos de la talla de Poincaré. Cantor nunca
tuvo discípulos, nunca los aceptó, se interesó siempre más en sus detractores
que en sus seguidores. La posición de maestro tal vez le resultara insostenible
o poco interesante.Menos
aún se conoce de las circunstancias que, a partir de 1899, lo llevaron a estar
internado por períodos de varios meses, casi regularmente cada año, en alternancia
con las etapas en que trabajaba en matemática y en la docencia universitaria.
Hay constancias de franca locura, de horrísonos ejercicios vocales, de frecuentes
conductas excrementicias que espantaban al psiquiatra - éste retrocedía ante la
mano embadurnada que Cantor, sonriente, le tendía [20] -.El
loco, decía Lacan, es el hombre libre, porque tiene el objeto de su lado, no busca
la voz ni la hez en el Otro como inconscientemente hace el neurótico [21] . No sueña tampoco con liberarse
del Otro, porque aún encerrado en un asilo es subjetivamente libre de las ataduras
- los "lazos" - sociales. Por lo cual Lacan no consideró a la locura como un mero
déficit. Más bien "seducción del ser", ruptura del nudo social que mantiene atados
los registros simbólico e imaginario con lo real. Pensaba que la locura es una
opción que no está al alcance de cualquiera, y que tampoco a quien quiere le llegan los riesgos que la bordean."No
basta con un organismo débil - añadió -, una imaginación alterada, conflictos
que superen a las fuerzas. Puede ocurrir que un cuerpo de hierro, poderosas identificaciones
y facilidades del destino inscriptas en los astros, conduzcan con mayor seguridad
a esa seducción del ser [22] ."Podemos
evocar también este otro párrafo, tal vez el único que Lacan incluye dos veces
en sus Escritos: "El ser del hombre no solamente no puede ser comprendido
sin la locura, sino que no sería el ser del hombre si no llevara en sí a la locura
como límite de su libertad."De
su puño y letra, el padre lo convocaba en una carta al porvenir de "una estrella
brillante en el horizonte de la ciencia". Cantor, cuerpo de hierro, poderosas
identificaciones sostenidas en su padre, un destino inscripto en los astros, no
apoyaba sin embargo esas identificaciones en la metáfora paterna y en la represión
que ésta condiciona; lo cual no necesariamente fue un déficit, y especialmente
no en cuanto a su ejercicio inusitado de la libertad
[23] .Pero
por supuesto, el goce de la libertad tuvo para él un costo. Porque una vez planteadas
libremente las reglas y los axiomas, atenerse al discurso constrictivo de la matemática
implica la libertad de padecer como sujeto las consecuencias, ellas ya no libres,
de haber establecido libremente esos axiomas y reglas de deducción. Lo que explica
en parte que haya reencontrado su libertad, al principio de manera intermitente,
afuera de los lazos de discurso.Un síntoma alienanteLo
que dio el sesgo propio y la posición sintomática de Cantor, lo más singular que
podemos advertir en lo que sabemos de su vida y de su obra, reside en la firmeza
y la eficacia con que consiguió importar al discurso de la matemática la libertad
de que pudo gozar en la locura. Si su decir es acto y tan pleno de consecuencias,
es porque logra realizar en el discurso lo que otros sólo padecen fuera de él.
Ahora bien, su frecuente salida del discurso de la matemática no es sin embargo
un cambio de discurso, es pasaje al acto - esa ruptura del lazo social en que
consiste un desencadenamiento -. No vemos en Cantor esa saludable separación que
se obtiene con el cambio de discurso, ese recurso que permite a otros hombres
de ciencia una existencia más cómoda, menos rigurosa también.¿Qué
es la libertad, además de un ideal, una utopía? ¿Qué es ella desde el siglo XIX,
cuando ya no se apoya en la legalidad de la esclavitud, que daba consistencia
lingüística al "hombre libre"? ¿Qué queda de ella cuando ya nadie cree en la igualdad
entre los hombres, cuando la fraternidad más desembozadamente que nunca se apoya
en la segregación? ¿Es algo más que un sueño del neurótico, sostenido en el discurso
interior casi delirante que Lacan describió tan bien en su seminario Las psicosis?Hegel
caracterizó el momento histórico que sigue al de la revolución francesa: la libertad
se realiza en el Terror, donde la esencia del hombre libre se revela en la libertad
de morir [24] . Es que esta "facultad" no es idealizada
solamente por error del neurótico. Es la estructura misma del sujeto, esencialmente
encadenado al lenguaje, lo que hace de la libertad una instancia alienante, con
cuyos espejismos alienante se encuentra en una primera fase de su constitución.Eso
resulta especialmente evidente cada vez que la "cadena" del significante se reduce
al par significante. En ese nivel, cuando "somos libres", nos encontramos ante
una elección forzada. Los ejemplos que estudió Lacan, la bolsa o la vida, la libertad
o la muerte, son ilustrativos. Si se plantea tal opción, sólo tenemos la libertad
de una vida sin la bolsa, o la libertad de morir: división subjetiva como consecuencia
de la caducidad inaugural del Otro que el significante condiciona. La fórmula
lacaniana que dice: el significante representa al sujeto para otro significante,
es la fórmula de la alineación, es un o bien, o bien que "en el mejor de
los casos" se reduce a la posibilidad de elegir entre perder sólo uno de los términos
(la bolsa) o perder ambos (la vida, ergo también la bolsa).¿Y
cómo se realiza la libertad? En la eliminación del Otro, en el pasaje al
acto. Hay una salida - al menos para quien una referencia metafórica al padre
ha sido admitida en su inconsciente - a la que Lacan llamó separación,
y que determina una segunda fase en la constitución del sujeto. Ella implica un
retorno del Otro eliminado en la primera fase, al que el sujeto le hace un lugar
en el nivel del deseo. Pero eso implica que en su elección ya no es tan libre,
porque en ella palpita el deseo del Otro que ha alojado en la intimidad de su
ser. El ser ha consentido en que el deseo del Otro intervenga en su insondable
decisión. Por
eso, una cosa es la libertad, otra la separación. Son dos formas bien diferentes
de ubicarse en relación con el Otro en tanto que tachado. En el primer caso, la
tachadura tiene valor de eliminación. Allí se ubicó Cantor, en una línea que Lacan
hace proceder del método de Descartes, que sustituyo al gran Otro, Dios, por las
pequeñas letras a, b, c, ..., y que reemplazó al razonamiento
fundado en la verdad revelada por Dios, por la demostración por repetición o recurrencia.
Es decir lo que sería llamado principio de inducción (que Cantor llevaría hasta
el transfinito): si un teorema vale para el caso 1, y si cuando vale para
n también vale para n+1, entonces vale para todo n. [25] Si,
tal como afirmó Cantor, en tanto disciplina de saber la esencia de la matemática
es la libertad, eso no necesariamente es cómodo para el investigador. Lacan escucha
que es bajo la forma de un gemido como Cantor enuncia que la gran dificultad,
el gran riesgo de la matemática, es que es el lugar de la libertad
[26] . La vida de Cantor como sujeto de la matemática, se reduce a soportar
la marca de la división originaria que la teoría de los conjuntos incluye desde
el comienzo, como conjunto vacío. E
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