La formalización matemática como ideal

  Lacan dirá en De un Otro al otro que la lógica matemática es la lógica a secas. En Aún sostiene que la escritura matemática es nuestra meta por ser matema íntegramente transmisible, y ubica a la formalización matemática como el mejor horizonte del discurso analítico. En... o peor sostiene contundentemente: “no hay enseñanza que no sea matemática, el resto es broma.” (Lacan, 1971-72, p. 27). La matemática es capaz de desnudar las relaciones lógicas existentes en una estructura posibilitando conclusiones lógicas necesarias derivadas de los axiomas iniciales. Estas conclusiones se extraen de un modo totalmente abstracto, de modo tal que su validez no depende de ningún significado, expresión o término; ésta se apoya en la estructura misma y no en su contenido.

  Examinemos, teniendo esto en mente, una cita del matemático alemán David Hilbert: “Una de las cosas que más nos atrae cuando nos dedicamos a un problema matemático es precisamente que dentro de nosotros siempre escuchamos la llamada: he aquí el problema, busca la solución; puedes encontrarla por pensamiento puro, ya que en matemáticas no existe cosa alguna que no pueda conocerse”. Este famoso matemático propuso en 1928 que era posible formalizar un método axiomático capaz de dar pruebas absolutas de consistencia; sostenía que aceptando cierta cantidad de proposiciones como axiomas, pueden derivarse de ellos todas las demás proposiciones en calidad de teoremas. La cita de Hilbert ilustra muy bien la aspiración a la que apuntaba: una matemática completa y consistente, que no oculte nada, donde todo puede demostrarse como verdadero o como falso. Coherente con su pensamiento se pronunció en contra de la máxima latina “ignoramus et ignorabimus” (ignoramos e ignoraremos) y afirma “wir müssen wissen - wir werden wissen!” (debemos saber ¡y sabremos!), epitafio que puede leerse en su tumba. Se conoce como frase suya “en la matemática no hay ignorabimus”.

  El trabajo de Kurt Gödel, que aparece pocos años después, demuestra que el programa de Hilbert es insostenible e introduce un nuevo estatuto de la verdad en la matemática, una que nunca podrá ser completa y consistente a la vez. Emprende el trabajo de demostrar la imposibilidad de demostrar ciertas proposiciones dentro del sistema de la aritmética. Nagel y Newman comentan que el trabajo gödeliano inaugura una nueva manera de pensar las matemáticas, y que “no puede darse ninguna garantía absolutamente impecable de que muchas de las más significativas ramas del pensamiento matemático se hallen enteramente libres de toda contradicción interna.” (Nagel y Newman, 1970, p. 20). Haciendo mella en la aspiración de un sistema axiomático completo y absoluto, Gödel demuestra que es imposible demostrar la consistencia de un sistema que a la vez sea lo bastante comprensivo para ser completo; o es incompleto y consistente, o completo pero inconsistente.

  ¿De qué modo lo hizo? Construyó una fórmula aritmética G que representaba la declaración metamatemática “la fórmula G no es demostrable” y a su vez “G es demostrable sí y solo sí es demostrable no-G”, es decir, su negación. Como vimos más arriba, si una fórmula y a la vez su negación pueden ser formalmente demostradas... el cálculo no es consistente. Lo cual deriva en que si la aritmética es consistente, ésta fórmula creada por Gödel sería formalmente indecidible, es decir, que no puede decidirse su valor de verdad. Esta última conclusión descompleta el sistema axiomático aritmético ya que se demuestra que pueden construirse fórmulas verdaderas pero indecidibles; proposiciones como G, de las que no puede decidirse si son verdaderas o falsas manteniéndose dentro de los límites del propio sistema.

  El teorema de Gödel horada la meta de una verdad absoluta a la que podría arribarse dentro del campo de la matemática. Las implicancias del teorema de Gödel sobre los estatutos del saber y la verdad muestran que, en lo tocante a lo que puede ser formalizable, existe un límite. No todo puede decirse. Sin embargo, lo que demuestra también este teorema es que, respecto a esta imposibilidad, algo se puede escribir.

  Lacan toma estos impases en la formalización como los puntos de imposibilidad de escritura que muestran a lo real accediendo a lo simbólico. Allí donde nada puede decirse, se escribe algo que permita leer las marcas de real, la estructura en la letra. Pero esta operación, sólo es posible si, como sostiene Leibson, se cae en la trampa de querer escribir lo imposible de escribir. En El reverso del psicoanálisis, Lacan trabaja lo real -que en el Seminario anterior ha homologado con la estructura misma- como tope lógico que marca un imposible a lo simbólico: al intentar efectuar una formalización de la estructura, nos encontramos con un elemento de imposibilidad.

Del saber-totalidad y la verdad

  En El Reverso del Psicoanálisis, Lacan pone en cuestión la idea de un saber absoluto, cerrado. Ubica al “saber no sabido” en el “vientre del Otro”, y lo homologa a un caballo de Troya que viene a horadar al fantasma de un “saber-totalidad” (Lacan, 1969-70, p. 31, 33). Esta aspiración del saber-total, dirá más adelante, rechaza y excluye la dinámica de la verdad. Esto es lo que el discurso analítico cuestiona.

  Luego de formular que lo real se afirma en los impases de la lógica, Lacan dirá en ...o peor, que es lo real lo que se opone a la ambición de la lógica de conquistar la malla cerrada del discurso en su completud, y no sólo se opone sino que a su vez introduce un hiato irreductible en ella. (Lacan, 1971-72, p. 39). ¿Las consecuencias de esto? No hay universo de discurso, el Otro garante de la verdad no es consistente.

  En sus cuadrópodos ubica para el discurso analítico al saber (S₂) en el lugar de la verdad, pero avisa, estamos condenados a no poder denunciar nada de ella salvo con un medio decir. En La ciencia y la verdad sostiene: “ningún lenguaje podría decir lo verdadero sobre lo verdadero” (Lacan, 1966, p. 824). La verdad, habla, y ésta se vislumbra en los efectos del lenguaje, pero no puede decirse por completo, sólo a medias, “porque más allá de esta mitad, no hay nada que decir (...) el discurso queda abolido” (Lacan, 1969-70, p. 54). Este acceso a la verdad como un medio decir se sostendrá a lo largo de toda su enseñanza.

  Sin embargo, denuncia que el discurso de la ciencia comanda una verdad muy particular: “Sigue. Adelante. Sigue sabiendo cada vez más” (Lacan, 1969-70, p. 110). ¿Recuerda al “wir müssen wissen – wir werden wissen!” de Hilbert? “Debemos saber”, se traduce, y queda evidenciada la orden de mando, que contrastaba con el “Ignoramos e ignoraremos” latino. El psicoanálisis parecería caminar en el medio entre estas dos tensiones de contraste. No todo puede decirse, pero es necesario operar con ese imposible. Parafraseando el comentario que Lacan hace al final de la primera clase de De un Otro al otro, para poder hacer anillo, es preciso operar con el hueco.

Lo inconmensurable

  Como hemos visto, la matemática demuestra que se puede operar con imposibles, fallas o impases en la formalización. Hay agujeros en la racionalidad, pero estos impases no paralizan la operacionalidad: se trabaja con el imposible. Ejemplo de esto son los modelos no finitos, absolutamente necesarios para la mayoría de los postulados matemáticos, sin ir más lejos, entre el 0 y el 1 hay más números reales que elementos en toda la clase de números enteros (Kasner y Newman, 1967, ps. 49 y 59). Otro ejemplo de un impase matemático con el que se trabaja y muy fructíferamente, es el número de oro, o la divina proporción, una relación entre dos términos que da como resultado un inconmensurable, un número irracional.

  Lacan toma esta referencia a la inconmensurabilidad para abordar, en el Seminario de La lógica del fantasma, el encuentro entre Uno y Otro. Afirma que el encuentro de los sexos supone dos unidades de medida inconmensurable, y explica que “lo propio de lo conmensurable es que siempre hay un punto donde las dos medidas volverán a caer juntas”, a converger en la misma medida; pero cuando se trata de “dos valores inconmensurables... jamás.” (Lacan, 1967, clase del 1 de marzo, inédito). Cada partenaire entra como a, inconmensurable para su pareja. Es el falo, en tanto faltante, el que dará cierta operacionalidad en este ordenamiento.   Es indispensable que haya dos para el acto sexual, pero lo que son cada uno está excluido del fundamento de la palabra. Son dos... en relación a una terceridad: opera una función fundamental, “un tercer elemento que da vuelta alrededor del falo y de la castración”. (Lacan, 1967, clase del 1 de marzo, inédito). Hay un tercero en el horizonte, excluido e inalcanzable en el encuentro sexual como tal, que si estuviera presente haría posible la cópula. Cada cual entra al acto sexual en relación a aquella terceridad, que se interpone en la realización de la relación sexual. El falo, en tanto que es faltante, funciona como “media y extrema razón” de la relación entre los sexos, dando una posibilidad de proporción pero siendo ésta inconmensurable e imposible de formalizar. Un verdadero impase, un faltante que abre el juego a la vez que hace obstáculo infranqueable a la aspiración de completud.

Bibliografía

KASNER, E. y NEWMAN, J. (1967). Matemáticas e Imaginación. Tomo I. Barcelona, Salvat Editores S.A., 1987.

NAGEL, E. y NEWMAN, J., (1970). El teorema de Gödel. Madrid, Editorial Tecnos, S.A., Serie Estructura y Función, 1970.

LACAN, J. (1966). Escritos 2. “La ciencia y la verdad”. Buenos Aires, Siglo Veintiuno Editores, 2011.

LACAN, J. (1967-1968). El Seminario de Jacques Lacan. Libro 14. La lógica del fantasma. Inédito.

LACAN, J. (1968-1969). El Seminario de Jacques Lacan. Libro 16. De un Otro al otro. Buenos Aires, Paidós, 2013.

LACAN, J. (1969-1970). El Seminario de Jacques Lacan. Libro 17. El Reverso del Psicoanálisis. Buenos Aires, Paidós, 2013

LACAN, J. (1972-1973). El Seminario de Jacques Lacan. Libro 20. Aún. Buenos Aires, Paidós, 2015.